Вложенный многогранник, допускающий изгибание, при котором все его двугранные углы изменяются

Вложенный многогранник, допускающий изгибание, при котором все его двугранные углы изменяются

Александров В. А., Волокитин Е. П.
Сибирский математический журнал, 65, 6, 1076-1101 (2024)
Скачать статью

УДК 514.1 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.603

Аннотация:

Построен гомеоморфный сфере изгибаемый многогранник в трехмерном евклидовом пространстве, не имеющий самопересечений и такой, что при некотором его изгибании изменяются все двугранные углы. Построенный многогранник имеет 26 вершин, 72 ребра и 48 граней. Для изучения его свойств использованы как традиционные геометрические построения и рассуждения, так и символьные вычисления в системе Mathematica.

Литература:
  1. Bricard R. Mémoire sur la théorie de l′octaèdre articulé // J. de Math. Sér. 5. 1897. V. 3. P. 113–148.
     
  2. Lebesgue H. Octaèdres articulés de Bricard // Enseign. Math. Sér. 2. 1967. V. 13. P. 175–185.
     
  3. Alexandrov V. The Dehn invariants of the Bricard octahedra // J. Geom. 2010. V. 99. P. 1–13.
     
  4. Gallet M., Grasegger G., Legersk´y J., Schicho J. Combinatorics of Bricard’s octahedra // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2021. V. 359, N 1. P. 7–38.
     
  5. Михалев С. Н. Метрическое описание изгибаемых октаэдров // Мат. сб. 2023. Т. 214, № 7. С. 60–90.
     
  6. Connelly R. A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra // Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci. 1977. V. 47. P. 333–338.
     
  7. Alexander R. Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I // Trans. Am. Math. Soc. 1985. V. 288, N 2. P. 661–678.
     
  8. Сабитов И. Х. Объем многогранника как функция его метрики // Фундам. и прикл. математика. 1996. Т. 2, № 4. С. 1235–1246.
     
  9. Connelly R., Sabitov I., Walz A. The Bellows conjecture // Beitr. Algebra Geom. 1997. V. 38, N 1. P. 1–10.
     
  10. Sabitov I. Kh. The volume as a metric invariant of polyhedra // Discrete Comput. Geom. 1998. V. 20, N 4. P. 405–425.
     
  11. Gaifullin A. A. Flexible polyhedra and their volumes // V. Mehrmann (ed.) et al. European congress of mathematics. Proceedings of the 7th ECM, Berlin, Germany, July 18–22, 2016. Zürich: European Mathematical Society, 2018. P. 63–83.
     
  12. Гайфуллин А. А., Игнащенко Л. С. Инвариант Дена и равносоставленность изгибаемых многогранников // Тр. МИАН. 2018. Т. 302. С. 143–160.
     
  13. Штогрин М. И. Об изгибаемых полиэдральных поверхностях // Тр. МИАН. 2015. Т. 288. С. 171–183.
     
  14. Заславский О. А. Диагонали изгибаемых многогранников: дипломная работа. М.: МГУ, 2019.
     
  15. Wolfram S. The Mathematica book. Version 4. 4th ed.. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1999.
     
  16. Clinch K., Nixon A., Schulze B., Whiteley W. Pairing symmetries for Euclidean and spherical frameworks // Discrete Comput. Geom. 2020. V. 64, N 2. P. 483–518.
     
  17. Gilbert E. G., Johnson D. W., Keerthi S. S. A fast procedure for computing the distance between complex objects in three-dimensional space // IEEE J. Robotics and Automation. 1988. V. 4, N 2. P. 193–203.
     
  18. Glaeser G., Stachel H. Open geometry: OpenGL + advanced geometry.. Berlin: Springer, 1999.
     
  19. Ericson Ch. Real-time collision detection. San Francisco: Morgan Kaufmann Publ., 2005.
     
  20. Jiménez J. J., Segura R. J., Feito F. R. A robust segment/triangle intersection algorithm for interference tests. Efficiency study // Comput. Geom. 2010. V. 43, N 5. P. 474–492.
     
  21. Mount D. M. Geometric intersection // C. D. Toth (ed.) et al. Handbook of discrete and computational geometry. 3rd ed. Boca Raton: CRC Press, 2017. P. 1113–1134.
     
  22. Connelly R., Guest S. D. Frameworks, tensegrities, and symmetry. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2022.
     
  23. Максимов И. Г., Сабитов И. Х. О понятии комбинаторной $p$-параметричности многогранников // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 4. С. 823–839.
     
  24. Sabitov I. Kh. On polyhedra with calculable diagonals // Rend. Circ. Mat. Palermo (2). Suppl. 2002. V. 70. P. 289–294.
     
  25. Сабитов И. Х. Алгебраические методы решения многогранников // Успехи мат. наук. 2011. Т. 66, № 3. С. 3–66.

Работа подготовлена в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ для Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (В. А. Александров был поддержан в рамках проекта FWNF–2022– 0006, Е. П. Волокитин — в рамках проекта FWNF–2022–0005).

Александров Виктор Алексеевич (ORCID 0000-0002-6622-8214)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский государственный университет, физический факультет, 
    ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

E-mail: alex@math.nsc.ru

Волокитин Евгений Павлович (ORCID 0000-0002-2646-7800)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
  2. Новосибирский государственный университет, физический факультет, 
    ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

E-mail: volok@math.nsc.ru

Статья поступила 19 июня 2024 г. 
После доработки — 16 сентября 2024 г.
Принята к публикации 23 октября 2024 г.