О скоростях сходимости в эргодической теореме Биркгофа

О скоростях сходимости в эргодической теореме Биркгофа

Подвигин И. В.
Сибирский математический журнал, 65, 5, 991-1010 (2024)
Скачать статью

УДК 517.987 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.516

Аннотация:

Приведен обзор результатов об оценках скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа, основанный на двух подходах. Первый подход посвящен поточечным оценкам эргодических средних, имеющим место почти всюду, второй основан на оценках мер максимальных отклонений.

Литература:
  1. Krengel U. On the speed of convergence in the ergodic theorem // Monatsh. Math. 1978. V. 86. P. 3–6. 
     
  2. Kakutani S., Petersen K. The speed of convergence in the ergodic theorem // Monatsh. Math. 1981. V. 91. P. 11–18. 
     
  3. del Junco A., Rosenblatt J. Counterexamples in ergodic theory and number theory // Math. Ann. 1979. V. 245. P. 185–197. 
     
  4. Volny D. On limit theorems and category for dynamical systems // Yokohama Math. J. 1990. V. 38. P. 29–35. 
     
  5. Halasz G. Remarks on the remainder in Birkhoff’s ergodic theorem // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1976. V. 28, N 3–4. P. 389–395. 
     
  6. Marcus B., Petersen K. Balancing ergodic averages // Ergodic theory (Proc. Conf., Math. Forschungsinst., Oberwolfach, Germany, 1978). Berlin: Springer-Verl., 1979. P. 126–143. (Lect. Notes Math.; V. 729). 
     
  7. Atkinson G. Recurrence of co-cycles and random walks // J. London Math. Soc. (2). 1976. V. 13, N 3. P. 486–488. 
     
  8. Schmidt K. On reccurence // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie. 1984. V. 68, N 1. P. 75–95. 
     
  9. Шнейберг И. Я. Нули интегралов вдоль траекторий эргодических систем // Функцион. анализ и его прил. 1985. Т. 19, № 2. С. 92–93. 
     
  10. Крыгин А. Б. Пример цилиндрического каскада с аномальными метрическими свойствами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. 1975. № 5. С. 26–31. 
     
  11. Рыжиков В. В. Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем // Функцион. анализ и его прил. 1997. Т. 31, № 2. С. 45–57. 
     
  12. Krengel U. Ergodic theorems. Berlin; New York: de Gruyter, 1985. (de Gruyter Stud. Math.; V. 6). 
     
  13. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 4. С. 73–124. 
     
  14. Гапошкин В. Ф. О зависимости скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для стационарных процессов от скорости убывания корреляционной функции // Теория вероятностей и ее применения. 1981. Т. 26, № 4. С. 720–733. 
     
  15. Cohen G., Lin M. Laws of large numbers with rates and the one-sided ergodic Hilbert transform // Illinois J. Math. 2003. V. 47, N 4. P. 997–1031. 
     
  16. Cuny C. Pointwise ergodic theorems with rate with applications to limit theorems for stationary processes // Stoch. Dynam. 2011. V. 11, N 1. P. 135–155. 
     
  17. Lin M, Sine R. Ergodic theory and the functional equation $(I − T)x = y$// J. Operator Theory. 1983. V. 10. P. 153–166.
     
  18. Woś J. The filling scheme and the ergodic theorems of Kesten and Tanny // Colloq. Math. 1987. V. 52. P. 263–276.
     
  19. Derriennic Y., Lin M. Fractional Poisson equations and ergodic theorems for fractional coboundaries // Israel J. Math. 2001. V. 123. P. 93–130.
     
  20. Fang L., Takahasi H., Zhang Y. Precise asymptotics on the Birkhoff sums for dynamical systems // Nonlinearity. 2021. V. 34. P. 7095–7108.
     
  21. Гапошкин В.Ф. О скорости убывания вероятностей $\epsilon$-уклонений средних стационарных процессов // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 3. С. 366–372.
     
  22. Вершик А. М., Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах для локально конечных групп и обращенные мартингалы // Дифференц. уравнения и процессы управления. 1999. № 1. С. 19–26. 
     
  23. Качуровский А. Г., Седалищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа // Мат. заметки. 2012. Т. 91, № 4. С. 624–628.
     
  24. Седалищев В. В. Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5. С. 1102–1110.
     
  25. Седалищев В. В. Связь скоростей сходимости в эргодических теоремах Биркгофа и фон Неймана в $L_p$ // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 2. С. 412–426.
     
  26. Chernov N. I. Limit theorems and Markov approximations for chaotic dynamical systems // Probab. Theory Relat. Fields. 1995. V. 101, N 3. P. 321–362.
     
  27. Sarig O. Decay of correlations // Handbook of dynamical systems. 2006. V. 1B. P. 244–263.
     
  28. Lesigne E., Volny D. Large deviations for generic stationary processes // Colloq. Math. 2000. V. 84/85, N 1. P. 75–82.
     
  29. Young L.-S. Statistical properties of dynamical systems with some hyperbolicity // Ann. Math. 1998. V. 147, N 3. P. 585–650.
     
  30. Young L.-S. Recurrence times and rates of mixing // Israel J. Math. 1999. V. 110. P. 153–188.
     
  31. Melbourne I., Nicol M. Large deviations for nonuniformly hyperbolic systems // Trans. Am. Math. Soc. 2008. V. 360. P. 6661–6676.
     
  32. Melbourne I. Large and moderate deviations for slowly mixing dynamical systems // Proc. Am. Math. Soc. 2009. V. 137, N 5. P. 1735–1741.
     
  33. Rey-Bellet L., Young L.-S. Large deviations in non-uniformly hyperbolic dynamical systems // Ergodic Theory Dynam. Syst. 2008. V. 28, N 2. P. 587–612.
     
  34. Alves J. F., Freitas J. M., Luzzatto S., Vaienti S. From rates of mixing to reccurence times via large deviations // Adv. Math. 2011. V. 228, N 2. P. 1203–1236.
     
  35. Aimino R., Freitas J. M. Large deviations for dynamical systems with stretched exponential decay of correlations // Portugal Math. 2019. V. 76, N 2. P. 143–152.
     
  36. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979.
     
  37. Bressaud X., Liverani C. Anosov diffeomorphisms and coupling // Ergodic Theory Dynam. Syst. 2002. V. 22, N 1. P. 129–152.
     
  38. Chernov N. I. Markov approximations and decay of correlations for Anosov flows // Ann. Math. 1998. V. 147, N 2. P. 269–324.
     
  39. Dolgopyat D. On decay of correlations in Anosov flows // Ann. Math. 1998. V. 147, N 2. P. 357–390.
     
  40. Dolgopyat D. Prevalence of rapid mixing in hyperbolic flows // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1998. V. 18, N 5. P. 1097–1114.
     
  41. Dolgopyat D. Prevalence of rapid mixing. II: Topological prevalence // Ergodic Theory Dynam. Syst. 2000. V. 20, N 4. P. 1045–1059.
     
  42. Liverani C. On contact Anosov flows // Ann. Math. 2004. V. 159, N 3. P. 1275–1312.
     
  43. Stoyanov L. Ruelle operators and decay of correlations for contact Anosov flows // Compt. Rend. Math. 2013. V. 351. P. 669–672.
     
  44. Chernov N., Markarian R. Chaotic billiards. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2006. (Math. Surv. Monogr.; V. 127). 
     
  45. Zhang H.-K. Decay of correlations on non-H¨older observables // Int. J. Nonlinear Sci. 2010. V. 10, N 3. P. 359–369.
     
  46. Ruziboev M. Decay of correlations for invertible maps with non-Hölder observables // Dynam. Syst. 2015. V. 30, N 3. P. 341–352.
     
  47. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.
     
  48. Козлов В. В. Об одной задаче Пуанкаре // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, № 2. С. 352–355.
     
  49. Крыгин А. Б. Об $\omega$-предельных множествах гладких цилиндрических каскадов // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 6. С. 873–884.
     
  50. Сидоров Е. А. Об условиях равномерной устойчивости по Пуассону цилиндрических систем // Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, № 6. С. 184–188.
     
  51. Мощевитин Н. Г. Сингулярные диофантовы системы А. Я. Хинчина и их применение // Успехи мат. наук. 2010. Т. 65, № 3. С. 43–126.
     
  52. Рождественский А. В. Точная оценка скорости сходимости в среднем биркгофовых сумм для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Функцион. анализ и его прил. 2006. Т. 40, № 1. С. 43–51.
     
  53. Антоневич А. Б., Кочергин А. В., Шукур А. А. О поведении сумм Биркгофа, порожденных поворотами окружности // Мат. сб. 2022. Т. 213, № 7. С. 3–38.
     
  54. Klein S., Liu X.-C., Melo A. Uniform convergence rate for Birkhoff means of certain uniquely ergodic toral maps // Ergod. Theory Dynam. Syst. 2021. V. 41, N 11. P. 3363–3388.
     
  55. Colzani L. Speed of convergence of Weyl sums over Kronecker sequences // Monatsh. Math. 2023. V. 200, N 2. P. 209–228.
     
  56. Ratner M. Rigidity of time changes for horocycle flows // Acta Math. 1986. V. 156. P. 1–32.
     
  57. Burger M. Horocycle flow on geometrically finite surfaces // Duke Math. J. 1990. V. 61, N 3. P. 779–803.
     
  58. Flaminio L., Forni G. Invariant distributions and time averages for horocycle flows // Duke Math. J. 2003. V. 119. P. 465–526.
     
  59. Strömbergsson A. On the deviation of ergodic averages for horocycle flows // J. Mod. Dynam. 2013. V. 7, N 2. P. 291–328.
     
  60. Margulis G. Problems and conjectures in rigidity theory // Mathematics: frontiers and perspectives. Eds. Arnold V., Atiyah M., Lax P., Masur B. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2000. P. 161–174.
     
  61. Athreya J. S., Forni G. Deviation of ergodic averages for rational polygonal billiards // Duke Math. J. 2008. V. 144, N 2. P. 285–319.
     
  62. Bufetov A. Limit theorems for translation flows // Ann. Math. 2014. V. 179. P. 431–499.
     
  63. Forni G. Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus // Ann. Math. 2002. V. 155. P. 1–103.
     
  64. Бланк М. Л. О теореме Биркгофа по неинвариантной мере // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71, № 3. С. 199–200.
     
  65. Wiener N. The ergodic theorem // Duke Math. J. 1939. V. 5, N 2. P. 1–18.
     
  66. Tempelman A. Ergodic theorems for group actions. Informational and thermodynamical aspects. Dordrecht: Springer, 1992. (MAIA; V. 78).
     
  67. Nevo A. Pointwise ergodic theorems for actions of groups // Handbook of Dynamical Systems. 2006. V. 1B. P. 871–982.
     
  68. Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Свищёв А. А. Максимальная поточечная скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2020. Т. 498. С. 18–25.
     
  69. Das S., Yorke J. A. Super convergence of ergodic averages for quasiperiodic orbits // Nonlinearity. 2018. V. 31. P. 491–501.
     
  70. Duignan N., Meiss J. D. Distinguishing between regular and chaotic orbits of flows by the weighted Birkhoff average // Physica D. 2023. V. 449. Article ID 133749
     
  71. Tong Z., Li Y. Exponential convergence of the weighted Birkhoff average // J. Math. Pures Appl. 2024. V. 188. P. 470–492.
     
  72. Colzani L., Gariboldi B., Monguzzi A. Summability and speed of convergence in an ergodic theorem // J. Math. Anal. Appl. 2024. V. 536, N 1. Article ID 128190.
     
  73. Качуровский А. Г., Подвигин И. В. Об измерении скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа // Мат. заметки. 2019. Т. 106, № 1. С. 40–52.
     
  74. Подвигин И. В. Lower bound of the supremum of ergodic averages for $\mathbb {Z}^d$ and $\mathbb {R}^d$ -actions // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 626–636.
     
  75. Kwapien S. Linear functionals invariant under measure preserving transformations // Math. Nachr. 1984. V. 119, N 1. P. 175–179.
     
  76. Adams T., Rosenblatt J. Joint coboundaries // Dynamical systems, ergodic theory, and probability: in memory of Kolya Chernov. Contemp. Math. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2017. V. 698. P. 5–33.
     
  77. Ber A. F., Borst M. J., Sukochev F. A. Full proof of Kwapien’s theorem on representing bounded mean zero functions on [0, 1] // Studia Math. 2021. V. 259, N 3. P. 241–270.
     
  78. Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Свищёв А. А. Закон нуля или единицы для скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем // Мат. тр. 2021. Т. 24, № 2. С. 65–80.
     
  79. Fan A. H., Schmeling J. On fast Birkhoff averaging // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2003. V. 135. P. 443–467.
     
  80. Bayart F., Buczolich Z., Heurteaux Y. Fast and slow points of Birkhoff sums // Ergodic Theory Dynam. Syst. 2020. V. 40, N 12. P. 3236–3256.
     
  81. Подвигин И. В. Показатель сходимости последовательности эргодических средних // Мат. заметки. 2022. Т. 112, № 2. С. 251–262.
     
  82. Podvigin I. V. On the pointwise rate of convergence in the Birkhoff ergodic theorem: recent results // Proceedings of the Workshops University of North Carolina at Chapel Hill 2021. Ergodic Theory and Dynamical Systems. DeGruyter, 2024. P. 117–125. (De Gruyter Proc. Math.).
     
  83. Tanny D. A zero-one law for stationary sequences // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie. 1974. V. 30. P. 139–148.
     
  84. Подвигин И. В. О возможных оценках скорости поточечной сходимости в эргодической теореме Биркгофа // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 2. С. 379–391.
     
  85. Blum J. R., Hanson D. L. On the mean ergodic theorem for subsequences // Bull. Am. Math. Soc. 1960. V. 66, N 6. P. 308–311.
     
  86. Ryzhikov V. V. Slow decay of correlations for generic mixing automorphisms. arXiv:2403.14585 [math.DS]. 2024.
     
  87. Yancey K. B. On weakly mixing homeomorphisms of the two-torus that are uniformly rigid // J. Math. Anal. Appl. 2013. V. 399, N 2. P. 524–541.
     
  88. Kunde P. Uniform rigidity sequences for weak mixing diffeomorphisms on $\mathbb {D}^2$ , $\mathbb A$ and $\mathbb {T}^2$ // J. Math. Anal. Appl. 2015. V. 429, N 1. P. 111–130.
     
  89. Рыжиков В. В. Медленные сходимости эргодических средних // Мат. заметки. 2023. Т. 113, № 5. С. 742–746.
     
  90. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. 1956. Т. 5. С. 483–522.
     
  91. Подвигин И. В. О скорости сходимости в индивидуальной эргодической теореме для действий полугрупп // Мат. труды. 2015. Т. 18, № 2. С. 93–111.
     
  92. Качуровский А. Г., Подвигин И. В. Большие уклонения и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа // Мат. заметки. 2013. Т. 94, № 4. С. 569–577.
     
  93. Качуровский А. Г., Подвигин И. В. Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Тр. Моск. мат. о-ва. 2016. Т. 76, № 1. С. 1–66.
     
  94. Качуровский А. Г., Подвигин И. В. Большие уклонения и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа: переход от гёльдеровости к непрерывности // Докл. АН. 2016. Т. 466, № 1. С. 12–15.
     
  95. Качуровский А. Г., Подвигин И. В. Большие уклонения эргодических средних: переход от гёльдеровости к непрерывности почти всюду // Мат. тр. 2017. Т. 20, № 1. С. 97–120.
     
  96. Maldonado C., Muniz H., Nieto H. Concentration inequalities and rates of convergence of the ergodic theorem for countable shifts with Gibbs measures // J. Differ. Equ. Appl. 2021. V. 27, N 11. P. 1594–1607.
     
  97. Подвигин И. В. Оценки корреляций в динамических системах: переход от гёльдеровских функций к произвольным наблюдаемым // Мат. тр. 2017. Т. 20, № 2. С. 90–119.
     
  98. Podvigin I. V. Large deviations of Birkhoff′ s sums via the approximation of observables // Lobachevskii J. Math. 2020. V. 41, N 4. P. 703–708.
     
  99. Baladi V. Positive operators and decay of correlations. Singapore: World Sci., 2000. (Advanced series in nonlinear dynamics; V. 16).
     
  100. Chernov N. Advanced statistical properties of dispersing billiards // J. Stat. Phys. 2006. V. 122, N 6. P. 1061–1094.
     
  101. Stenlund M. A strong pair correlation bound implies the CLT for Sinai billiards // J. Stat. Phys. 2010. V. 140, N 1. P. 154–169.
     
  102. Bunimovich L., Su Y. Maximal large deviations and slow recurrences in weakly chaotic systems // Adv. Math. 2023. V. 432. Article ID 109267.
     
  103. Chalmoukis N., Colzani L., Gariboldi B., Monguzzi A. On the speed of convergence in the ergodic theorem for shift operators. arXiv:2312.08922 [math.CA]. 2023.
     
  104. Богачев В. И. Неравномерные усреднения Козлова — Трещева в эргодической теореме // Успехи мат. наук. 2020. Т. 75, № 3. С. 3–36.
     
  105. Rühr R., Shi R. Quantitative multiple pointwise convergence and effective multiple correlations // J. Differ. Equ. 2021. V. 285. P. 1–16.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № FWNF2022-0004).

Подвигин Иван Викторович
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: ipodvigin@math.nsc.ru

Статья поступила 9 августа 2024 г.
После доработки — 9 августа 2024 г.
Принята к публикации 20 августа 2024 г.