О содержащих логарифмы формальных решениях q-разностных уравнений
О содержащих логарифмы формальных решениях $q$-разностных уравнений
Аннотация:
Получен специальный вид $q$-разностных уравнений, для которых существует решение в виде ряда Дюлака. Нахождение коэффициентов рядов Дюлака сводится к решению алгебраических разностных уравнений, при некоторых условиях эти уравнения имеют полиномиальное решение. Приведен пример $q$-разностного уравнения, показывающий невозможность ограничения степени таких полиномиальных решений. Доказано утверждение, позволяющее оценить сверху степени многочленов-коэффициентов в разложении через степени коэффициентов начального отрезка ряда Дюлака. Приведены примеры вычисления разложений решений $q$-разностных уравнений в виде рядов Дюлака.
Литература:
- Брюно А. Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // Успехи мат. наук. 2004. Т. 59, № 3. С. 31–80.
- Cano J. The Newton polygon method for differential equations // Intern. Workshop on Mathematics Mechanization. Berlin; Heidelberg: Springer, 2004. P. 18–30. (Lect. Notes Math.; V. 3519).
- Dora J. D., Richard-Jung F. About the Newton algorithm for non-linear ordinary differential equations // Proc. 1997 Intern. Sympos. Symbolic and Algebraic Computation. ACM, 1997. P. 298–304.
- Dragovic V., Goryuchkina I. Polygons of Petrovic and Fine, algebraic ODEs, and contemporary mathematics // Archive for History of Exact Sciences. 2020. V. 74, N 6. P. 523–564.
- Cano J., Fortuny Ayuso P Power series solutions of non-linear $q$-difference equations and the Newton–Puiseux polygon // Qualitative Theory Dynam. Syst. 2022. V. 21, N 4. P. 641–642.
- Barbe Ph., Cano J., Fortuny A.P., McCormic. $q$-Algebraic equations, their power series solutions, and the asymptotic behavior of their coefficients. arXiv.org/abs/2006.09527#.
- Gontsov R., Goryuchkina I., Lastra A. On the convergence of generalized power series solutions of $q$-difference equations // Aequationes Math. 2022. V. 96, N 3. P. 579–597.
- Мардешич П., Ресман М. Аналитические модули для параболических ростков Дюлака // Успехи мат. наук. 2021. Т. 76, № 3. С. 13–92.
- Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1967–1968. Т. 1.
- Брюно А. Д., Парусникова А. В. Локальные разложения решений пятого уравнения Пенлеве // Докл. АН. 2011. Т. 438, № 4. С. 439–443.
- Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: URSS, 2006.
- Гаянов Н. В., Парусникова А. В. Формулы для вычисления коэффициентов степенно-логарифмических разложений $q$-разностных уравнений специального вида // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы математики: Тр. XIV приокской науч. конф. Коломна: ГСГУ, 2023. С. 50–55.
- Гонцов Р. Р., Горючкина И. В. О сходимости формальных рядов Дюлака, удовлетворяющих алгебраическому ОДУ // Мат. сб. 2019. Т. 210, № 9. С. 3–18.
- Malgrange B. Sur le théorème de Maillet // Asympt. Anal. 1989. V. 2, N 1. P. 1–4.
- Feng R., Gao X. S., Huang Z. Rational solutions of ordinary difference equations // J. Symbol. Comput. 1994. V. 339, N 6. P. 732–735.
- Shkaravska O., van Eekelen M. Univariate polynomial solutions of algebraic difference equations // J. Symbol. Comput. 2014. V. 60. P. 15–28.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-21-00717, https://rscf.ru/project/22-21-00717/, в Институте проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН.
Гаянов Никита Владимирович (ORCID 0009-0001-0522-6856)
- Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Покровский бульвар, 11, Москва 101000
E-mail: gajanovnv@gmail.com
Парусникова Анастасия Владимировна (ORCID 0000-0001-5387-1035)
(автор для переписки)
- Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Таллинская ул., 34, Москва 123458
E-mail: aparusnikova@hse.ru, parus-a@mail.ru
Статья поступила 17 декабря 2023 г.
После доработки — 13 августа 2024 г.
Принята к публикации 20 августа 2024 г.