Задача Коши для нелинейного комплексного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (кмКдФ)

Задача Коши для нелинейного комплексного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (кмКдФ) с дополнительными членами в классе периодических бесконечнозонных функций

Хасанов А. Б., Хасанов Т. Г.

Сибирский математический журнал, 65, 4, 735-759 (2024)

УДК 517.957
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.412

Аннотация:

Метод обратной спектральной задачи применяется для интегрирования нелинейного комплексного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (кмКдФ) с дополнительными членами в классе периодических бесконечнозонных функций. Выводится эволюция спектральных данных периодического оператора Дирака, коэффициент которого является решением уравнения кмКдФ. Доказана разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина в классе шестикратно непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций. Кроме того, установлена разрешимость задачи Коши для уравнения кмКдФ с дополнительными членами в лассе шестикратно непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций.

Литература:

Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteweg–de Vries equation // Phys. Rev. Let. 1967. V. 19. P. 1095–1098.
Фаддеев Л. Д. Свойства $S$-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314–336.
Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.
Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма — Лиувилля. М.: Наука, 1984.
Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure Appl. Math. 1968. V. 21. P. 467–490.
Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки в одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Журн. эксперимент. и теор. физики. 1971. Т. 61, № 1. С. 118–134.
Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg–de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32, N 6. P. 44–47.
Hirota R. Exact envelop-soliton solutions of a nonlinear wave equation // J. Math. Phys. 1973. V. 14. P. 805–809.
Захаров В. Е., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Полное описание решений Sine-Gordon уравнения // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1334–1337.
Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sine-Gordon equation // Phys. Rev. Let. 1973. V. 30, N 25. P. 1262–1264.
Konno K., Kameyama W., Sanuki H. Effect of weak dislocation potential on nonlinear wave propagation in anharmonic cristal // J. Phys. Soc. Japan. 1974. V. 37, N 1. P. 171–176.
Deng-yuan Chen, Da-un Zhang, Shu-fang Deng. The novel multi-soliton solutions of the mKdV-Sine Gordon equations // J. Phys. Soc. Japan. 2002. V. 71, N 2. P. 658–659.
Abdul -Majid Wazwaz. $N$-soliton solutions for the integrable modified KdV-sine-Gordon equation // Phys. Scripta. 2014. V. 89, N 6. P. 5–15.
Popov S. P. Scattering of solitons by dislocations in the modified Korteweg–de Vries-sine-Gordon equation // Comput. Mathematics Math. Phys. 2015. V. 55, N 12. P. 2014–2024.
Popov S. P. Numerical analysis of soliton solutions of the modified Korteweg–de Vries-sine-Gordon equation // Comput. Mathematics Math. Phys. 2015. V. 55, N 3. P. 437–446.
Popov S. P. Nonautonomous soliton solutions of the modified Korteweg–de Vries-sine-Gordon equation // Comput. Mathematics Math. Phys. 2016. V. 56, N 11. P. 1929–1937.
Man Jia, Ji Lin, Sen Yue Lou. Soliton and breather molecules in few-cycle-pulse optical model // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 100. P. 3745–3757.
Фролов И. С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 1. С. 44–47.
Нижник Л. П., Фам Лой Ву. Обратная задача рассеяния на полуоси с несамосопряженной потенциальной матрицей // Укр. мат. журн. 1974. Т. 26, № 4. С. 469–485.
Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.
Хасанов А. Б. Обратная задача теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 3. С. 559–562.
Khasanov A. B., Urazboev G. U. On the sine-Gordon equation with a self-consistent source corresponding to multiple eigenvalues // Differ. Equ. 2007. V. 43. P. 567–570.
Khasanov A. B., Khoitmetov U. A. On integration of Korteweg–de Vries equation in a class of rapidly decreasing complex-valued functions // Russian Math. 2018. V. 62. P. 68–78.
Khasanov A. B., Khoitmetov U. A. Integration of the general loaded Korteweg–de Vries equation with an integral type source in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Russian Math. 2021. V. 65. P. 43–57.
Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions // Bull. Irkutsk State University. Ser. Math. 2021. V. 38. P. 19–35.
Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и $N$-солитонные решения уравнения Кортевега — де Фриза // Теор. и мат. физика. 1975. Т. 23, № 1. С. 51–68.
Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега — де Фриза // Журн. эксперимент. и теор. физики. 1974. Т. 67, № 12. С. 2131–2143.
Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 3. С. 41–51.
Дубровин Б. А., Натанзон И. И. Вещественные двухзонные решения уравнения sine-Gordon // Функцион. анализ и его прил. 1982. Т. 16, № 1. С. 27–43.
Итс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений // Вестн. Ленингр. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 1976. Т. 7, № 2. С. 39–46.
Kotlyarov V. P., Its A. R. Periodic problem for the nonlinear Schrödinger equation. 2014. 14 p. arXiv.1401.4445
Смирнов А. О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза // Мат. сб. 1994. Т. 185, № 8. С. 103–114.
Матвеев В. Б., Смирнов А. О. Решения типа волн убийц уравнений иерархии Абловица — Каупа — Ньюэлла — Сигура: единый подход // Теор. и мат. физика. 2016. Т. 186, № 2. С. 191–220.
Matveev V. B., Smirnov A. O. Multiphase solutions of nonlocal symmetric reductions of equations of the AKNS hierarchy: general analysis and simplest examples // Theor. Math. Phys. 2020. V. 204, N 3. P. 1154–1165.
Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев: Наукова думка, 1987.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.
Gesztesy F., Holden H. Soliton equations and their algebro-geometric solutions. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2003.
Babadzhanov B. A., Khasanov A. B., Yakhshimuratov A. B. On the inverse problem for a quadratic pencil of Sturm–Liouville operators with periodic potential // Differ. Equ. 2005. V. 41, N 3. P. 310–318.
Matveev V. B. 30 years of finite-gap integration theory // Philos. Trans. Royal Soc. A. 2008. V. 366. P. 837–875.
Левитан Б. М., Хасанов А. Б. Оценка функции Коши в случае конечнозонных непериодических потенциалов // Функцион. анализ и его прил. 1992. Т. 26, № 2. С. 18–28.
Хасанов А. Б. Обратная задача рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Штурма — Лиувилля // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 5. С. 1095–1098.
Бикбаев Р. Ф. Временная асимптотика решения нелинейного уравнения Шредингера с граничными условиями типа «ступеньки» // Теор. и мат. физика. 1989. Т. 81, № 1. С. 3–11.
Бикбаев Р. Ф., Шарипов Р. А. Асимптотика при $t \to \infty$ решения задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза в классе потенциалов с конечнозонным поведением при $x \to \pm \infty$ // Теор. и мат. физика. 1989. Т. 78, № 3. С. 345–356.
Grinevich P. G., Taimanov I. A. Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type // Geometry, Topology and Math. Physics. Am. Math. Soc. 2008. V. 2, N 224. P. 125–138.
Hasanov A. B., Hasanov M. M. Integration of the nonlinear Schrödinger equation with an additional term in the class of periodic functions // Theor. Math. Phys. 2019. V. 199. P. 525–532.
Khasanov A. B., Matyakubov M. M. Integration of the nonlinear Korteweg–de Vries equation with an additional term // Theor. Math. Phys. 2020. V. 203. P. 596–607.
Хасанов А. Б., Хасанов Т. Г. Задача Коши для уравнения Кортевега — де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2021. Т. 506. С. 258–278.
Khasanov A. B., Allanazarova T. Z. On the modified Korteweg–de Vries equation with loaded term // Ukr. Math. J. 2022. V. 73. P. 1783–1809.
Домрин А. В. Замечания о локальном варианте метода обратной задачи рассеяния // Тр. МИРАН. 2006. Т. 253. С. 46–60.
Djakov P., Mityagin B. Instability zones of a periodic 1D Dirac operator and smoothness of its potential // Commun. Math. Phys. 2005. V. 529. P. 139–183.
Ince E. L. A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathien functions // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1922. V. 21. P. 117–120.
Джаков П. Б., Митягин Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Дирака // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61, № 4. С. 77–82.
Маннонов Г. А., Хасанов А. Б. Задача Коши для нелинейного уравнения Хироты в классе периодических бесконечнозонных функций // Алгебра и анализ. 2022. Т. 34, № 5. С. 139–172.
Khasanov A. B., Normurodov K. N., Khudaerov U. O. Integrating the modified Korteweg–de Vries sine-Gordon equation in the class of periodic infinite-gap functions // Theor. Math. Phys. 2023. V. 214. P. 170–182.
Левитан Б. М., Саргисян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.
Мисюра Т. В. Характеристика спектров периодических краевых задач, порождаемых операцией Дирака. I // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1978. Т. 30. С. 90–101.
Хасанов А. Б., Яхшимуратов А. Б. Аналог обратной теоремы Г. Борга для оператора Дирака // Узб. мат. журн. 2000. Т. 3–4. С. 40–46.
Хасанов А. Б., Ибрагимов А. М. Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потенциалом // Узб. мат. журн. 2001. Т. 3–4. С. 48–55.
Currie S., Roth T. T., Watson B. A. Borg’s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials // Proc. Edinburgh Math. Soc. 2017. V. 60, N 3. P. 615–633.
Станкевич И. В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. 34–37.
Trubowitz E. The inverse problem for periodic potentials // Commun. Pure Appl. Math. 1977. V. 30, N 3. P. 321–337.
Khasanov A. B., Yakhshimuratov A. B. Inverse problem on the half-line for the Sturm–Liouville operator with periodic potential // Differ. Equ. 2015. V. 51, N 1. P. 23–32.
Borg G. Eine Umkehrung der Sturm–Liouvilleschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. 1946. V. 78. P. 1–96.
Ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов // Докл. АН СССР. 1961. Т. 144, № 2. С. 262–266.
Korotyaev E, Mokeev D. Dubrovin equation for periodic Dirac operator on the half line // Appl. Anal. 2020. V. 101, N 1. P. 337–365.
Яхшимуратов А. Б. Интегрирование нелинейной системы Шредингера высшего порядка с самосогласованным источником в классе периодических функций // Теор. и мат. физика. 2020. Т. 202, № 2. С. 157–169.
Даниелян А. А., Левитан Б. М., Хасанов А. Б., Асимптотика $m$-функции Вейля — Титчмарша в случае системы Дирака // Мат. заметки. 1991. Т. 50, № 2. С. 67–76.

Хасанов Акназар Бекдурдиевич (ORCID 0000-0003-2571-5179)

Самаркандский государственный университет,
Самарканд, 140104, Узбекистан
Самаркандский филиал Математического института имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан,
Самарканд, 140104, Узбекистан

E-mail: ahasanov2002@mail.ru