Конечные группы с системами обобщенно нормальных подгрупп

Конечные группы с системами обобщенно нормальных подгрупп

Лю А-М., Ван С., Сафонов В. Г., Скиба А. Н.
Сибирский математический журнал, 65, 4, 672-685 (2024)
Скачать статью

УДК 512.542 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.406

Аннотация:

Пусть $G$ — конечная группа и $\mathscr{L}_{sn} (G)$ — решетка всех ее субнормальных подгрупп. Пусть $A$ и $N$ — подгруппы группы $G$ и 1, $G \in \mathscr{L}$ — подрешетка в $\mathscr{L}_{sn} (G)$, т. е. $B \cap C$, $\left \langle B, C \right \rangle \in \mathscr{L}$ для всех $B, C \in \mathscr{L}$. Тогда: $A^\mathscr{L}$ — $\mathscr{L}$-замыкание $A$ в $G$, т. е. пересечение всех подгрупп из $\mathscr{L}$ , содержащих $A$, и $A_\mathscr{L}$ — $\mathscr{L}$-ядро подгруппы $A$ в $G$, т. е. подгруппа из $A$, порожденная всеми теми ее подгруппами, которые принадлежат $\mathscr{L}$. Говорят, что $A$ является $N$-$\mathscr{L}$-подгруппой группы $G$, если либо $A \in \mathscr{L}$ , либо $A_\mathscr{L} < A < A^\mathscr{L}$ и $N$ изолирует каждый композиционный фактор $H/K$ группы $G$ между $A_\mathscr{L}$ и $A^\mathscr{L}$ , т. е. $N \cap H = N \cap K$. С использованием этих понятий даны новые характеризации разрешимых и сверхразрешимых конечных групп. Обобщены некоторые известные результаты.

Литература:
  1. Hall P. On the system normalizers of a soluble group // Proc. London Math. Soc. 1937. V. 43. P. 507–528.
     
  2. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.
     
  3. Ezquerro L.M. A contribution to the theory of finite supersolvable groups // Rend. Sem. Math. Univ. Padova. 1993. V. 89. P. 161–170.
     
  4. Liu J., Li S., Shen Z., Liu X. Finite groups with some CAP-subgroups // Indian J. Pure Appl. Math. 2011. V. 42. P. 145–156.
     
  5. Tang X., Guo W. On partial CAP∗ -subgroups of finite groups // J. Algebra Appl. 2017. V. 16, N 1. 1750009.
     
  6. Guo W., Skiba A. N., Yang N. A generalized CAP-subgroup of a finite group // Science China. Mathematics. 2015. V. 58, N 10. P. 1–12.
     
  7. Qian G., Zeng Yu On partial CAP-subgroups of finite groups // J. Algebra. 2020. V. 546, N 1. P. 553–565.
     
  8. Li X., Lei D. The semi p-cover-avoidance properties of $p$-sylowizers in finite groups // Commun. Algebra. 2023. V. 52, N 2. P. 367–373.
     
  9. Wang Y., Miao L., Liu W. On some second maximal subgroups of non-solvable groups // Hacettepe J. Math. Statistics. 2021. V. 49, N 11. P. 4588–4599.
     
  10. Skiba A. N. On sublattices of the subgroup lattice defined by formation Fitting sets // J. Algebra. 2020. V. 550. P. 69–85.
     
  11. Ballester-Bolinches A., Beidleman J. C., Heineken H. Groups in which Sylow subgroups and subnormal subgroups permute // Illinois J. Math. Special issue in honor of Reinhold Baer (1902–1979). 2003. V. 47, N 1-2. P. 63–69.
     
  12. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R., Asaad M. Products of finite groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2010.
     
  13. Kegel O. H. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. 1962. V. 78. P. 205–221.
     
  14. Skiba A. N. On weakly s-permutable subgroups of finite groups // J. Algebra. 2007. V. 315, N 1. P. 192–209.
     
  15. Guo W., Skiba A. N. Finite groups with given s-embedded and n-embedded subgroups // J. Algebra. 2009. V. 321. P. 2843–2860.
     
  16. Agrawal R.K. Generalized center and hypercenter of a finite group // Proc. Am. Math. Soc. 1976. V. 58, N 1. P. 13–21.
     
  17. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.
     
  18. Chi Z., Skiba A.N. On a lattice characterization of finite soluble $PST$-groups // Bull. Austral. Math. Soc. 2020. V. 101, N 2. P. 247–254.
     
  19. Guo J., Guo W., Safonova I. N., Skiba A. N. $G$-covering subgroup systems for the classes of finite soluble $P ST$-groups // Commun. Algebra. 2021. V. 49, N 9. P. 1–9.
     
  20. Liu A.-M., Wang Z., Safonov V. G., Skiba A. N. A characterization of $\sigma$-soluble $P \sigma T$-groups // J. Group Theory. 2024. Article in press.
     
  21. Wang Z., Liu A.-M., Safonov V. G., Skiba A. N. A characterisation of soluble $P ST$-groups // Bull. Austral. Math. Soc. 2024. https://doi.org/10.1017/S0004972724000157.
     
  22. Weinstein M. Between nilpotent and solvable. Passaic, NJ: Polygonal Publ. House, 1982.
     
  23. Spencer A.E. Maximal nonnormal chains in finite groups // Pacific J. Math. 1968. V. 27, N 1. P. 167–173.
     
  24. Srinivasan S. Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups // Israel J. Math. 1980. V. 35. P. 210–214.
     
  25. Guo X., Shum K. P. Cover-avoidance properties and the structure of finite groups // J. Pure Appl. Algebra. 2003. V. 181. P. 297–308.
     
  26. Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1967.
     
  27. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of finite groups. Dordrecht: Springer, 2006.
     
  28. Huppert B., Blackburn N. Finite groups. III. Berlin; New York: Springer-Verl., 1982.
     
  29. Al-Sharo K., Skiba A. N. On finite groups with σ-subnormal Schmidt subgroups // Commun. Algebra. 2017. V. 45. P. 4158–4165.

Исследование выполнено при поддержке Национального фонда естественных наук Китая (No. 12101165, No. 12171126) и НФЕНК-БРФФИ (No. 12311530761). Исследования третьего и четвертого авторов выполнены при поддержке Министерства образования Республики Беларусь (No. 20211328, No. 20211778) и Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (No. Ф24КИ-021).

А-Мин Лю (https://orcid.org/0000-0002-2247-5547)
  1. Хайнаньский университет, Школа математики и статистики, 
    Хайкоу, Хайнань, 570228, КНР

E-mail: amliu@hainanu.edu.cn

Сичэ Ван (Sizhe Wang)
  1. Хайнаньский университет, Школа математики и статистики, 
    Хайкоу, Хайнань, 570228, КНР
  2. Тяньцзиньский университет, Школа математики, 
    Тяньцзинь, 300072, КНР

E-mail: 169518909@QQ.com

Сафонов Василий Григорьевич (https://orcid.org/0000-0003-0682-3107)
  1. Институт математики Национальной академии наук Беларуси, 
    Минск 220072, Беларусь
  2. Белорусский государственный университет, механико-математический факультет, 
    Минск 220030, Беларусь

E-mail: vgsafonov@im.bas-net.by, vgsafonov@bsu.by

Скиба Александр Николаевич (https://orcid.org/0000-0002-6521-2712)
  1. Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины, 
    факультет математики и технологий программирования, 
    Гомель 246019, Беларусь

E-mail: alexander.skiba49@gmail.com

Статья поступила 17 марта 2024 г.
После доработки — 29 апреля 2024 г.
Принята к публикации 20 июня 2024 г.