Конструкции квандлов над группами и кольцами

Конструкции квандлов над группами и кольцами

Симонов А. А., Нещадим М. В., Бородин А. Н.
Сибирский математический журнал, 65, 3, 577-590 (2024)
Скачать статью

УДК 512.548+515.162.8 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.311

Аннотация:

Приведены конструкции расширения тривиального квандла при помощи группы с нетривиальной абелевой подгруппой; квандла над некоммутативной группой при помощи произвольного антиавтоморфизма; квандла, построенного при помощи обобщенного квандла Александера заменой автоморфизма центральным антиавтоморфизмом; квандла над $n$-мерным модулем, зависящего от $n (n − 1) − 1$ параметров из коммутативного кольца с единицей, $n \ge 2$.

Литература:
  1. Матвеев С. В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов // Мат. сб. 1982. Т. 119, № 1. С. 78–88.
     
  2. Joyce D. A classifying invariant of knots: the knot quandle // J. Pure Appl. Algebra. 1982. V. 23, N 1. P. 37–65.
     
  3. Reidemeister K. Elementare Begründung der Knotentheorie // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1926. V. 5. P. 24–32.
     
  4. Bardakov V., Nasybullov T. Multi-switches and virtual knot invariants // Topology Appl. 2021. V. 293. 107552.
     
  5. Bardakov V., Nasybullov T. Multi-switches and representations of braid groups // J. Algebra Appl. 2024. V. 23, N 3. 2430003.
     
  6. Burstin C., Mayer W. Distributive Gruppen von endlicher Ordnung // J. Reine Angew. Math. 1929. V. 160. P. 111–130.
     
  7. Takasaki M. Abstractions of symmetric functions // Tohoku Math. J. 1943. V. 49. P. 143–207.
     
  8. Ryll-Nardzewski C. Sur les moyennes // Studia Math. 1949. V. 11. P. 31–37.
     
  9. Hosszu M. On the functional equation of distributivity // Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae. 1953. V. 4, N 1–2. P. 159–167.
     
  10. Госсу М. Несимметричные средние // Colloq. Math. 1957. V. 5. P. 32–42.
     
  11. Hosszu M. Nonsymmetric means // Math. Debrecen. 1959. V. 6. P. 1–9.
     
  12. Stein K. S. Left-distributive quasigroups // Proc. Am. Math. Soc. Aug. 1959. V. 10, N 4. P. 577–578.
     
  13. Белоусов В. Д. О структуре дистрибутивных квазигрупп // Мат. сб. 1960. Т. 50, № 3. С. 267–298.
     
  14. Белоусов В. Д. Леводистрибутивные квазигруппы // Изв. вузов. Математика. 1963. Т. 32, № 1. С. 16–20.
     
  15. Оной В. И. Леводистрибутивные квазигруппы, однородные слева над квазигруппой // Изв. АН МолдССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1970. Т. 2. С. 24–31.
     
  16. Оной В. И. О сердцевинах квазигрупп со свойством правой обратимости // Вопросы теории квазигрупп и луп. Кишинев, 1970. С. 91–104.
     
  17. Оной В. И. О лупах, изотопных леводистрибутивным квазигруппам // Математические исследования. Кишинев: Штиинца, 1972. Т. 7. С. 135–152.
     
  18. Оной В. И. О леводистрибутивных квазигруппах Стейна // Исследования по современной алгебре и геометрии. Математические науки. Кишинев, 1983. С. 94–104.
     
  19. Галкин В. М. Леводистрибутивные квазигруппы конечного порядка // Математические исследования. Кишинев: Штиинца, 1979. Т. 57. С. 43–54.
     
  20. Санду Н. И. О леводистрибутивных квазигруппах // Математические исследования. Кишинев: Штиинца, 1985. Т. 83. С. 87–94.
     
  21. Nelson S. The combinatorial revolution in knot theory // Notices Am. Math. Soc. 2011. V. 58, N 1. P. 1553–1561.
     
  22. Eisermann M. Yang–Baxter deformations of quandles and racks // Algebr. Geom. Topol. 2005. V. 5. P. 537–562. 
     
  23. Loos O. Reflexion spaces and homogeneous symmetric spaces // Bull. Am. Math. Soc. 1967. V. 73. P. 250–253. 
     
  24. Andruskiewitsch N., Grana M. From racks to pointed Hopf algebras // Adv. Math. 2003. V. 178, N 2. P. 177–243. 
     
  25. Bardakov V. G., Nasybullov T., Singh M. General constructions of biquandles and their symmetries // J. Pure Appl. Algebra. 2022. V. 226, N 7. 106936.
     
  26. Bardakov V. G., Singh M. Quandle cohomology, extensions and automorphisms // J. Algebra. 2021. V. 585. P. 558–591.
     
  27. Elhamdadi M., Moutuou E. M. Finitely stable racks and rack representations // Commun. Algebra. 2018. V. 46, N 11. P. 4787–4802.
     
  28. Elhamdadi M., Macquarrie J., Restrepo R. Automorphism groups of quandles // J. Algebra Appl. 2012. V. 11, N 01. P. 12.
     
  29. Bardakov V. G., Dey P., Singh M. Automorphism groups of quandles arising from groups // Monatsh. Math. 2017. V. 184. P. 519–530.
     
  30. Bardakov V. G., Nasybullov T., Singh M. Automorphism groups of quandles and related groups // Monatsh. Math. 2019. V. 189, N 1. P. 1–21.
     
  31. Bardakov V. G., Nasybullov T. Embeddings of quandles into groups // J. Algebra Appl. 2020. V. 19, N 7. 2050136.
     
  32. Nosaka T. Quandles and topological pairs. Symmetry, knots, and cohomology. Singapore: Springer, 2017.
     
  33. Bardakov V. G., Passi I. B. S., Singh M. Quandle rings // J. Algebra Appl. 2019. V. 18, N 8. 1950157.
     
  34. Elhamdadi M. A survey of racks and quandles: Some recent developments // Algebra Colloq. 2020. V. 27, N 3. P. 509–522.
     
  35. Scott Carter J. A survey of quandle ideas. arXiv:1002.4429.
     
  36. Nelson S. A survey of quantum enhancements // Intern. Conf. Knots, Low-Dimensional Topology Appl. 2016. P. 163–178.
     
  37. Elhamdadi M. Distributivity in quandles and quasigroups. arXiv:1209.651.
     
  38. Lopes P., Roseman D. On finite racks and quandles. arXiv:math/0412487. 39. Carter J. S., Saito M. Quandle homology theory and cocycle knot invariants. arXiv:math/0112026.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № I.1.5. (проект FWNF-2022-0009).

Симонов Андрей Артёмович
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова 1, Новосибирск 630090

E-mail: a.simonov@g.nsu.ru

Нещадим Михаил Владимирович
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: neshch@math.nsc.ru

Бородин Александр Николаевич
  1. Горно-алтайский государственный университет, 
    ул. Ленкина, 1, Горно-Алтайск 659700

E-mail: serajsova@yandex.ru

Статья поступила 15 января 2024 г.
После доработки — 19 февраля 2024 г.
Принята к публикации 8 апреля 2024 г.