Оценка устойчивости решения в обратной задаче для нелинейного гиперболического уравнения

Оценка устойчивости решения в обратной задаче для нелинейного гиперболического уравнения

Романов В. Г
Сибирский математический журнал, 65, 3, 560-576 (2024)
Скачать статью

УДК 517.968 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.310

Аннотация:

Рассматривается гиперболическое уравнение с переменной главной частью и нелинейностью в младшем члене. Предполагается, что коэффициенты уравнения являются гладкими функциями точки трехмерного пространства и постоянны вне некоторой компактной области. Из внешности этой области на неоднородность падает плоская волна с направлением $\ell$. Решение соответствующей задачи Коши для исходного уравнения измеряется в точках границы области для временного интервала, включающего в себя момент прихода волны в эти точки. Предполагается, что единичный вектор $\ell$ является параметром задачи и может пробегать последовательно все возможные значения. На основе этой информации о решениях уравнения изучается обратная задача об определении коэффициента при нелинейности. Выписывается структура решения прямой задачи и показывается, что решение обратной задачи может быть сведено к задаче интегральной геометрии. Эта задача заключается в построении искомой функции по заданным интегралам от произведения искомой функции и некоторой заданной весовой функции. Интегралы берутся вдоль геодезических линий римановой метрики, ассоциированной с главной частью дифференциального уравнения. Эта задача является новой, в статье выполнено ее исследование, найдена оценка устойчивости ее решения. На этой основе установлена оценка устойчивости решения рассматриваемой обратной задачи.

Литература:
  1. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Мир, 2005.
     
  2. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations // Invent. Math. 2018. V. 212. P. 781–857.
     
  3. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds // Commun. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609.
     
  4. Lassas M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations // Proc. Intern. Congress Math. 2018. V. 3. P. 3739–3760.
     
  5. Hintz P., Uhlmann G. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets // Internat. Math. Res. Notices. 2019. V. 22. P. 6949–6987.
     
  6. Hintz P., Uhlmann G., Zhai J. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds // Intern. Math. Res. Notices. 2022. V. 17. P. 13181–13211.
     
  7. Wang Y., Zhou T. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations // Commun. Partial Differ. Equ. 2019. V. 44, N 11. P. 1140–1158. 
     
  8. Barreto A. S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions // Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14, N 6. P. 1057–1105. 
      
  9. Barreto A. S., Stefanov P. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly nonlinear regime // Commun. Math. Phys. 2022. V. 392. P. 25–53.
     
  10. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Обратная задача для нелинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 2. С. 83–100.
     
  11. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Задача об определении коэффициента при нелинейном члене квазилинейного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2022. Т. 25, № 3. С. 154–169.
     
  12. Романов В. Г. Обратная задача для полулинейного волнового уравнения // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 504, № 1. С. 36–41.
     
  13. Романов В. Г., Бугуева Т. В. Обратная задача для волнового уравнения с полиномиальной нелинейностью // Сиб. журн. индустр. математики. 2023. Т. 26, № 1. С. 142–149.
     
  14. Романов В. Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 3. С. 635–652.
     
  15. Романов В. Г. Обратная задача для уравнений электродинамики с нелинейной проводимостью // Докл. АН. 2023. Т. 509, № 1. С. 65–68.
     
  16. Романов В. Г. Одномерная обратная задача для нелинейных уравнений электродинамики // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59, № 10. С. 1397–1411.
     
  17. Мухометов Р. Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия // Докл. АН СССР. 1977. Т. 232, № 1. С. 32-35.
     
  18. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в n-мерном пространстве // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1. С. 41–44.
     
  19. Бернштейн И. Н., Гервер М. Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 2. С. 302–305.
     
  20. Бейлькин Г. Я. Устойчивость и единственность решения обратной кинематической задачи сейсмики в многомерном случае // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. Л.: Наука, 1979. С. 3–6.

Работа выполнена при поддержке Математического центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2022-281.

Романов Владимир Гаврилович (ORCID 0000-0002-5426-4277)
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 
    пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

E-mail: romanov@math.nsc.ru

Статья поступила 26 января 2024 г. 
После доработки — 26 января 2024 г.
Принята к публикации 8 апреля 2024 г.