Осреднение скалярной краевой задачи в тонком периодически изломанном цилиндре

Осреднение скалярной краевой задачи в тонком периодически изломанном цилиндре

Назаров С. А., Слуцкий А. С.
Сибирский математический журнал, 65, 2, 374-394 (2024)
Скачать статью

УДК 517.956.22:517.958 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.211

Аннотация:

В результате осреднения задачи Неймана для дифференциального уравнения в часто периодически изломанном многомерном цилиндре появляется обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Исследуется асимптотика коэффициента осредненного оператора в случае малых поперечных сечений. Главный член асимптотики выражается через «площади» сечений звеньев, их длины и матрицу коэффициентов исходного оператора. Найдены характеристики зон изломов, которые проявляются в поправочном члене, а асимптотический остаток приобретает экспоненциальную малость. Обоснование асимптотик опирается на неравенство Фридрихса с множителем, не зависящим от обоих малых параметров — периода изломов и относительного диаметра сечений.

Литература:
  1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
     
  2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.
     
  3. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. А. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.
     
  4. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
     
  5. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
     
  6. Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2007.
     
  7. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля с быстроосциллирующими коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1985. Т. 6. С. 37–46.
     
  8. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems. I // Russ. J. Math. Phys. 1994. V. 2, N 3. P. 325–352; II. Russ. J. Math. Phys. 1996. V. 4, N 1. P. 87–116.
     
  9. Назаров С. А. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами в прямоугольнике // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 5. С. 692–722.
     
  10. Назаров С. А., Козлов В. А. Одномерная модель течения в сочленении тонких каналов в том числе артериальных деревьев // Мат. сб. 2017. Т. 208, № 8. С. 56–105. Исправление: Мат. сб. 2018. Т. 209, № 6. С. 146.
     
  11. Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization of reticulated structures. Berlin e.a.: Springer, 1999.
     
  12. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Изв. РАН. Сер. мат. 2002. Т. 66, № 2. С. 81–148.
     
  13. Назаров С. А., Слуцкий А. С. Произвольные плоские системы анизотропных балок // Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 234–261.
     
  14. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 5. С. 61–96.
     
  15. Назаров С. А., Слуцкий А. С. Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких стержней // Тр. Санкт-Петербургского мат. о-ва. 2004. Т. 10. С. 63–117.
     
  16. Panasenko G., Pileckas K. Asymptotic analysis of the nonsteady viscous flow with a given flow rate in a thin pipe // Appl. Anal. 2012. V. 91, N 3. P. 559–574.
     
  17. Panasenko G., Pileckas K. Asymptotic analysis of the non-steady Navier–Stokes equations in a tube structure. I. The case without boundary-layer-in-time // Nonlinear Anal. 2015. V. 122. P. 125–168.
     
  18. Назаров С. А. Об одномерных асимптотических моделях тонких решеток Неймана // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 2. С. 362–382.
     
  19. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1968.
     
  20. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, № 5. С. 77–142.
     
  21. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2001.
     
  22. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. V. 76. P. 29–60.
     
  23. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209–298.
     
  24. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991.
     
  25. Ван-Дайк М. Д. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
     
  26. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
     
  27. Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. Berlin: Akademie-Verl., 1991. V. 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22- 11-00046).

Назаров Сергей Александрович (ORCID 0000-0002-8552-1264)
  1. Институт проблем машиноведения РАН, лаборатория «Математические методы механики материалов»,
    ВО, Большой проспект, 61, Санкт-Петербург 199178

E-mail: nsa@ipme.ru, srgnazarov@yahoo.co.uk

Слуцкий Андрей Семенович (ORCID 0000-0003-3233-7567)
  1. Институт проблем машиноведения РАН, лаборатория «Математические методы механики материалов»,
    ВО, Большой проспект, 61, Санкт-Петербург 199178

E-mail: sas@ipme.ru

Статья поступила 24 августа 2023 г.
После доработки — 24 августа 2023 г.
Принята к публикации 28 января 2024 г.