Топологические свойства отображений с конечным искажением на группах Карно

Топологические свойства отображений с конечным искажением на группах Карно

Исангулова Д. В.
Сибирский математический журнал, 65, 1, 57-73 (2024)
Скачать статью

УДК 517.54 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.106

Аннотация:

Доказана открытость и дискретность отображения с конечным искажением на группе Карно при условии почти прозрачности и интегрируемости коэффициента искажения. Оценена размерность по Хаусдорфу прообраза точки отображения с конечным искажением с ограниченной функцией кратности и суммируемым коэффициентом искажения на группах Карно. Построен пример, показывающий неулучшаемость оценки.

Литература:
  1. Reshetnyak Yu. G. Space mappings with bounded distortion. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989. (Transl. Math. Monogr.; V. 73).
     
  2. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Квазиконформные отображения и пространства функций с первыми обобщенными производными // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 3. С. 515–531.
     
  3. Iwaniec T., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 118, N 1. P. 181–188.
     
  4. Manfredi J. J., Villamor E. Mappings with integrable dilatation in higher dimensions // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1995. V. 32, N 2. P. 235–240.
     
  5. Hencl S., Maly J. Mappings of finite distortion: Hausdorff measure of zero sets // Math. Ann. 2002. V. 324. P. 451–464.
     
  6. Rajala K. Remarks on the Iwaniec–Sverák conjecture // Indiana Univ. Math. J. 2010. V. 59, N 6. P. 2027–2039.
     
  7. Ball J. M. Global invertibility of Sobolev functions and the interpenetration of matter // Proc. Roy. Soc. Edinburgh: Sect. A. Mathematics. 1991. V. 88. P. 315–328.
     
  8. Водопьянов С. К. Непрерывность отображения класса Соболева $W^1_{ν,loc}$ с конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 5. С. 912–934.
     
  9. Басалаев С. Г., Водопьянов С. К. Открытость и дискретность отображений с конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2023. Т. 64, № 6. С. 1151–1159.
     
  10. Dairbekov N. S. Mapping with bounded distortion of two-step Carnot groups // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.). Novosibirsk: Sobolev Institute Press, 2000. P. 122–155.
     
  11. Vodopyanov S. K. Foundations of the theory of mappings with bounded distortion on Carnot groups // Contemp. Math. 2007. V. 424. P. 303–344.
     
  12. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 8, № 3. С. 629–658.
     
  13. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Изв. вузов. Математика. 2002. Т. 10. С. 11–33.
     
  14. Водопьянов С. К., Евсеев Н. А. Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63, № 2. С. 283–315.
     
  15. Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton: Princeton Univ. Press, 1982. (Math. Notes; V. 28).
     
  16. John F. Rotation and strain // Commun. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 391–413.
     
  17. Lu G. The sharp Poincaré inequality for free vector fields: an endpoint result // Rev. Mat. Iberoamericana. 1994. V. 10, N 2. P. 453–466.
     
  18. Isangulova D. V., Vodopyanov S. K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Math. J. 2010. V. 1, N 2. P. 58–96.
     
  19. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 6. С. 67–86.
     
  20. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 657-675.
     
  21. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и c конечным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 764–804.
     
  22. Kleiner B., Müller S., Xie X. Pansu pullback and exterior differentiation for Sobolev maps on Carnot groups. 2021. 70 pp. https://arxiv.org/abs/2007.06694v2.
     
  23. Pansu P. Métriques de Carnot–Carathéodory et quasiisométries des espaces symmétriques de rang un // Ann. Math. 1989. V. 129, N 1. P. 1–60.
     
  24. Bagby T. , Ziemer W. P. Pointwise differentiability and absolute continuity // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 191. P. 129–148.
     
  25. Lu G. Weighted Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hörmander’s condition and applications // Rev. Mat. Iberoamericana. 1992. V. 8, N 3. P. 367–439.
     
  26. Koskela P., Maly J. Mappings of finite distortion: The zero set of the Jacobian // J. EMS. 2003. V. 5, N 2. P. 95–105.

Работа выполнена при поддержке Математического Центра в Академгородке, соглашение с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации № 075-15-2022-282 от 05.04.2022.

Исангулова Дарья Васильевна (ORCID 0000-0003-0365-8695)
  1. Новосибирский государственный университет, 
    ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090

E-mail: d.isangulova@g.nsu.ru

Статья поступила 14 сентября 2023 г.
После доработки — 18 октября 2023 г.
Принята к публикации 28 ноября 2023 г.