Уравнения Колмогорова для вырожденных операторов Орнштейна — Уленбека

Уравнения Колмогорова для вырожденных операторов Орнштейна — Уленбека

Богачев В. И., Шапошников С. В.
Сибирский математический журнал, 65, 1, 27-37 (2024)
Скачать статью

УДК 517.955 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.103

Аннотация:

Рассмотрены операторы Колмогорова с постоянными матрицами диффузии и линейными сносами, т. е. операторы Орнштейна — Уленбека, и показано, что все решения соответствующих стационарных уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова (в том числе знакопеременные) являются инвариантными мерами порожденных полугрупп. Это дает также относительно явное описание всех решений.

Литература:
  1. Arnold A., Schmeiser C., Signorello B. Propagator norm and sharp decay estimates for Fokker–Planck equations with linear drift // Commun. Math. Sci. 2022. V. 20, N 4. P. 1047–1080.
     
  2. Богачев В. И. Операторы и полугруппы Орнштейна — Уленбека // Успехи мат. наук. 2018. Т. 73, № 2. С. 3–74.
     
  3. Metafune G., Pallara D., Priola E. Spectrum of Ornstein–Uhlenbeck operators in $L^p$ spaces with respect to invariant measures // J. Funct. Anal. 2002. V. 196, N 1. P. 40–60.
     
  4. Metafune G., Prüss J., Rhandi A., Schnaubelt R. The domain of the Ornstein–Uhlenbeck operator on an $L^p$-space with invariant measure // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5). 2002. V. 1, N 2. P. 471–485.
     
  5. Bogachev V. I., Röckner M., Stannat W. Uniqueness of invariant measures and maximal dissipativity of diffusion operators on $L^1$ // Infinite Dimensional Stochastic Analysis (Proceedings of the Colloquium, Amsterdam, 11–12 February, 1999), Ph. Clément, F. den Hollander, J. van Neerven and B. de Pagter eds., Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, pp. 39–54, Amsterdam, 2000.
     
  6. Богачев В. И., Рёкнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий // Мат. сб. 2002. Т. 197, № 7. С. 3–36.
     
  7. Bogachev V. I., Krylov N. V., Röckner M., Shaposhnikov S. V. Fokker–Planck–Kolmogorov equations. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2015.
     
  8. Da Prato G. Introduction to stochastic analysis and Malliavin calculus. Pisa: Edizioni della Normale, 2014.
     
  9. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. 2nd ed. Cambridge: Camb. Univ. Press, 2014.
     
  10. Bogachev V. I., Röckner M., Shaposhnikov S. V. Uniqueness problems for degenerate Fokker– Planck–Kolmogorov equations // J. Math. Sci. (New York). 2015. V. 20, N 2. P. 147–165.
     
  11. Смирнова Г. Н. Задачи Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности // Мат. сб. 1966. Т. 112, № 4. С. 591–604.
     
  12. Zakai M., Snyders J. Stationary probability measures for linear differential equations driven by white noise // J. Differ. Equ. 1970. V. 8. P. 27–33.
     
  13. Snyders J., Zakai M. On nonnegative solutions of the equation $AD + DA' = −C$ // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18. P. 704–714.
     
  14. Zhang X. S. Existence and uniqueness of invariant probability measure for uniformly elliptic diffusion // Dirichlet forms and stochastic processes (Beijing, 1993), pp. 417–423, de Gruyter, Berlin, 1995.
     
  15. Bogachev V. I. Measure theory. Berlin: Springer, 2007. V. 1, 2.

Работа поддержана грантом РНФ 22-11-00015 (выполняемым при МГУ имени М. В. Ломоносова).

Богачев Владимир Игоревич (ORCID 0000-0001-5249-2965)
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, 
    Ленинские горы, 1, Москва 119991
  2. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», факультет математики, 
    ул. Усачева, 6, Москва 119048

E-mail: vibogach@mail.ru

Шапошников Станислав Валерьевич (ORCID 0000-0002-3281-7061)
  1. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, 
    Ленинские горы, 1, Москва 119991
  2. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», факультет математики, 
    ул. Усачева, 6, Москва 119048

Статья поступила 4 сентября 2023 г.
После доработки — 4 сентября 2023 г.
Принята к публикации 25 сентября 2023 г.