Суммы Зигмунда — Рисса рациональных интегральных операторов Фурье — Чебышёва и их аппроксимационные свойства

Суммы Зигмунда — Рисса рациональных интегральных операторов Фурье — Чебышёва и их аппроксимационные свойства

Поцейко П. Г., Ровба Е. А.
Сибирский математический журнал, 65, 1, 140-163 (2024)
Скачать статью

УДК 517.5 
DOI: 10.33048/smzh.2024.65.112

Аннотация:

Исследуются аппроксимационные свойства одной суммы Зигмунда — Рисса рациональных интегральных операторов Фурье — Чебышёва с ограничениями на количество геометрически различных полюсов. Получено интегральное представление введенного оператора.

Изучаются аппроксимации на отрезке $[−1, 1]$ функции $|x|^s$, $s \in (0, 2)$. Найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений и оптимальное значение параметров аппроксимирующей функции, при которых скорость убывания мажоранты наибольшая.

Отдельной задачей исследуются аппроксимационные свойства сумм Зигмунда — Рисса полиномиальных рядов Фурье — Чебышёва. Установлено асимптотическое выражение констант Лебега и оценки приближений функций $f \in H^{(\gamma)} [−1, 1]$, $\gamma \in (0, 1]$, а также оценки поточечных и равномерных приближений функции $|x|^s$, $s \in (0, 2)$.

Литература:
  1. Hardy G. H., Riesz M. The general theory of Dirichlet’s series. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1915.
     
  2. Zygmund A. The approximation of functions by typical means of their Fourier series // Duke Math. J. 1945. V. 12, N 4. P. 695–704.
     
  3. Oberchoff N. Applications de la sommation par les moyennes arithmétiques dans la théorie des séries de Fourier, des séries sphériques et ultrasphériques // Bulletin mathématique de la Société Roumaine des Sciences. Actes du deuxiéme congrés interbalkanique des mathématiciens. 1938. V. 40, N 1/2. P. 27–38.
     
  4. Kwee B. The approximation of continuous functions by Riesz typical means of their Fourier series // J. Austral. Math. Soc. 1967. V. 7, N 4. P. 539–544.
     
  5. Степанянц С. А. К вопросу включения методов дискретных средних Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2007. № 4. С. 12–17.
     
  6. Хахинов И. В. О взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 2011. № 5. С. 51–55.
     
  7. Ильясов Н. А. Приближение периодических функций средними Зигмунда // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 3. С. 367–382.
     
  8. Гейт В. Э. Характеризация последовательности приближений средними Зигмунда // Изв. вузов. Математика. 1996. № 6. С. 78–79.
     
  9. Stepanets A. I. Approximate properties of the Zygmund method // Ukrainian Math. J. 1999. V. 51, N 4. P. 493–518.
     
  10. Chikina T. S. Approximation by Zygmund–Riesz means in the $p$-variation metric // Anal. Math. 2013. V. 39, N 1. P. 29–44.
     
  11. Волосивец С. С., Лихачева Т. В. Некоторые вопросы приближения полиномами по мультипликативным системам в весовых пространствах $L_p$ // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 251–258.
     
  12. Русак В. Н. Об одном методе приближения рациональными функциями // Весцi АН БССР . Сер. фiз.-мат. навук. 1978. Т. 3. С. 15–20.
     
  13. Ровба Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке // Вестник БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. 1996. Т. 1, № 1. С. 34–39.
     
  14. Смотрицкий К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке // Вестн. БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. 2005. № 3. С. 64–70.
     
  15. Ровба Е. А. Поцейко П. Г. Средние Зигмунда — Рисса рациональных рядов Фурье — Чебышёва и аппроксимации функции $|x|^s$ // Тр. Ин-та математики Национальной Академии наук Беларуси. 2020. Т. 28, № 1–2. С. 74–90.
     
  16. Ровба Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 11. С. 968–971.
     
  17. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. Приближения на классах интегралов Пуассона рациональными интегральными операторами Фурье — Чебышёва // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 2. С. 362–386.
     
  18. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. Сопряженный рациональный оператор Фурье — Чебышёва и его аппроксимационные свойства // Изв. вузов. Математика. 2022. № 3. С. 44–60.
     
  19. Поцейко П. Г., Ровба Е. А., Смотрицкий К. А. О рациональных интегральных операторах типа Фурье — Чебышёва и аппроксимациях функций Маркова // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2020. Т. 2. С. 6–27.
     
  20. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. О рациональных суммах Абеля — Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2021. Т. 3. С. 6–24.
     
  21. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. О рациональных аппроксимациях функции Маркова на отрезке суммами Фейера с фиксированным количеством полюсов // Тр. Ин-та математики Национальной Академии наук Беларуси. 2022. Т. 30, № 1–2. С. 57–77.
     
  22. Bernstein S. Sur meilleure approximation de $|x|$ par des polynomés de degrés donnés // Acta Math. 1914. V. 37, N 1. P. 1–57.
     
  23. Newman D. J. Rational approximation to $|x|$ // Michigan Math. J. 1964. V. 11, N 1. P. 11–14.
     
  24. Буланов А. П. Асимптотика для наименьших уклонений $|x|$ от рациональных функций // Мат. сб. 1968. Т. 76, № 2. С. 288–303.
     
  25. Вячеславов Н. С. О приближении функции $|x|$ рациональными функциями // Мат. заметки. 1974. Т. 16, № 1. С. 163–171.
     
  26. Шталь Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации $|x|$ на $[−1, 1]$ // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 85–118.
     
  27. Bernstein S. Sur la meilleure approximation de $|x|^p$ par des polynomés de degrés trés eléves // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 1938. V. 2, N 2. P. 169–190.
     
  28. Freud G., Szabados J. Rational approximation to $x^\alpha$ // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1967. V. 18, N 3-4. P. 393–399.
     
  29. Гончар А. А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями // Мат. сб. 1967. Т. 73, № 4. С. 630–638.
     
  30. Вячеславов Н. С. Об аппроксимации $x^\alpha$ рациональными функциями // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44, № 1. С. 92–109.
     
  31. Шталь Г. Best uniform rational approximation of $x^\alpha$ on $[0, 1]$ // Bull. Amer. Math. Soc. 1993. V. 28, N 1. P. 116–122.
     
  32. Revers M. On the asymptotics of polynomial interpolation to $x^\alpha$ at the Chebyshev nodes // J. Approx. Theory. 2013. V. 165, N 1. P. 70–82.
     
  33. Ganzburg M. I. The Bernstein constant and polynomial interpolation at the Chebyshev nodes // J. Approx. Theory. 2002. V. 119, N 2. P. 193–213.
     
  34. Райцин Р. А. Асимптотические свойства равномерных приближений функций с алгебраическими особенностями частичными суммами ряда Фурье — Чебышёва // Изв вузов. Математика. 1980. № 3. С. 45–49.
     
  35. Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Мат. сб. 1971. Т. 86, № 2. С. 314–324.
     
  36. Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 2. С. 150–159.
     
  37. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы. Киев: Наук. думка, 1981.
     
  38. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 1989.
     
  39. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.
     
  40. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.
     
  41. Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

Работа выполнена при финансовой поддержке государственной программы научных исследований «Конвергенция 2020», № 20162269.

Поцейко Павел Геннадьевич (ORCID 0000-0001-7835-0500)
  1. Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, 
    ул. Ожешко, 22, Гродно 230023, Беларусь

E-mail: pahamatby@gmail.com

Ровба Евгений Алексеевич (ORCID 0000-0002-1265-1965)
  1. Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, 
    ул. Ожешко, 22, Гродно 230023, Беларусь

E-mail: rovba.ea@gmail.com

Статья поступила 5 июля 2023 г.
После доработки — 16 ноября 2023 г.
Принята к публикации 28 ноября 2023 г.